نهدف في هذا البحث إلى تعريف الامتدادات المنفصلة وغير المنفصلة. ويتحقق ذلك من خلال تقديم المفاهيم الأساسية لنظرية المجال حيث أن أهمها هو المجال الذي يلعب دورًا رئيسيًا في الجبر لأنه يوفر تعميمًا مفيدًا للعديد من أنظمة الأعداد مثل الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة والأعداد النسبية والعديد من الأنظمة الأخرى. المجال هو بنية جبرية لا غنى عنها لكثير من الرياضيات. على سبيل المثال، في الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد وحساب التفاضل والتكامل. من أجل الخوض بشكل أعمق في هدفنا، أثبتنا أن أي متعددة حدود غير قابلة للاختزال لها جذر في بعض الامتدادات التي تدعم وجود n جذور في امتداد أي متعددة حدود من الدرجة n، وينتهي الأمر بالامتداد المنفصل الذي له جذور مميزة لأي متعددة حدود من الدرجة n. علاوة على ذلك، قمنا بحل المشكلات الهندسية الثلاث من خلال إثبات أن بعض الأعداد الحقيقية غير قابلة للإنشاء.